数学

三角関数の主要公式を定義と6つの公式から導く方法(part2)

更新日:

前回の続きです。

三角関数の主要公式を定義と6つの公式から導く方法(part1)

今回は三角関数の6つの基本公式(相互関係式と加法定理)から、その他の公式を導く方法を紹介します。

 

何度もいいますが、三角関数の公式は丸暗記ではなかなか覚えきれません。

導き方を学ぶことで、より公式の理解が深まり、自分で導くこともできるようになります。

この記事で導き方を学んで何度も反復して導き直すことで、自然と覚えることができるはずです。

 

 

※スマホでの閲覧の場合、記事中の数式が画面からはみ出すことがあります。

$$はみ出す例~~~~~~1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$$

その時は、スマホを横向き表示にすれば改善されると思います。

お手数ですが、よろしくお願いします。

 

 

加法定理

まずは、加法定理をおさらいしましょう。

この3つを紹介しました。

$$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

αーβの方を書いてなかったので、ここで書いときます。

加法定理(差バージョン)

$$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

α+βの公式の符号を全て逆にすればいいのでわかりやすいですね。

一様、導き方(証明)を書いておきます。

加法定理(差バージョン)の導き方

和バージョンの加法定理

$$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

これらの公式で β→ーβ と置き換える。

$$\sin(-\beta)=-\sin\beta$$

$$\cos(-\beta)=\cos\beta$$

$$\tan(-\beta)=-\tan\beta$$

を考慮しながら計算すると、

$$\sin\{\alpha+(-\beta)\}=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)$$

$$=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos\{\alpha+(-\beta)\}=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$$

$$=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

 

$$\tan\{\alpha+(-\beta)\}=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}$$

$$=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

以上より、

$$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

 

 

 

今回の記事では、この加法定理と、下の三角関数の相互関係式

$$\sin ^2 \theta+\cos^2\theta=1$$

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

 

のみから公式を導いていきます。

それでは、早速見ていきましょう。

 

倍角・3倍角・半角の公式

倍角の公式

 

$$\sin2x=2\sin x \cos x$$

\begin{eqnarray*} \cos2x&=&\cos^2 x - \sin^2 x\\ &=&2\cos^2 x - 1\\ &=&1 - 2\sin^2 x \end{eqnarray*}

$$\tan2x=\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$$

 

使用頻度の高い公式ですが、暗記しなくても大丈夫です。

これらは、加法定理(公式4〜6)を用いて簡単に導けます。

 

倍角の公式の導き方

sinの導き方

$$\sin2x=2\sin x \cos x$$

 

$$(左辺)=\sin2x$$

$$=\sin(x+x) 加法定理より$$

$$=\sin x \cos x + \cos x \sin x$$

$$=2\sin x \cos x=(右辺)$$

これで公式を導けた。

 

 

cosの導き方

$$\cos2x=\cos^2 x - \sin^2 x$$

$$=2\cos^2 x - 1$$

$$=1 - 2\sin^2 x$$

 

$$\cos2x=\cos^2 x - \sin^2 x$$

をまず導く。

 

$$(左辺)=\cos 2x$$

$$=\cos(x+x) 加法定理より$$

$$=\cos x \cos x -\sin x \sin x$$

$$=\cos^2 x -\sin^2 x=(右辺)$$

 

続いて、

$$\cos^2 x -\sin^2 x=2\cos^2 x - 1$$

$$\cos^2 x -\sin^2 x=1 - 2\sin^2 x$$

を導く。

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1 (公式1)$$

を使えばすぐにわかる。

この式を変形すると、

$$\sin^2 x=1-\cos^2x ・・・①$$

$$\cos^2 x=1-\sin^2x ・・・②$$

となる。

①を代入すると、

$$\cos^2 x -\sin^2 x$$

$$=\cos^2 x -(1-\cos^2x)$$

$$=2\cos^2 x - 1$$

②を代入すると、

$$\cos^2 x -\sin^2 x$$

$$=(1-\sin^2 x)-\sin^2 x$$

$$=1 - 2\sin^2 x$$

 

以上より公式を導けた。

$$\cos2x=\cos^2 x - \sin^2 x$$

$$=2\cos^2 x - 1$$

$$=1 - 2\sin^2 x$$

 

3つの式が繋がっていますが、実際に使うのは次の2つです。

$$\cos2x=2\cos^2 x - 1$$

$$\cos2x=1 - 2\sin^2 x$$

 

 

tanの導き方

$$\tan2x=\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$$

 

$$(左辺)=\tan2x$$

$$=\tan(x+x) 加法定理より$$

$$=\frac{\tan x+\tan x}{1 - \tan x \tan x}$$

$$=\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}=(右辺)$$

これで公式を導けた。

 

 

このように、倍角の公式は加法定理を使えばすぐに証明できます。

cosが少しだけ手間がかかりますが、慣れてしまえばたいしたことないので慣れるまで何度も導出しましょう。

 

3倍角の公式

 

$$\sin3x=-4\sin^3 x +3\sin x$$

$$\cos3x=4\cos^3 x - 3\cos x$$

この公式は倍角の公式より使用頻度が少ないです。

導くのが少々面倒なので、覚えられるなら暗記してしまった方がいいでしょう。

ちなみに僕は暗記していませんでした。

使用頻度が低いので、読み飛ばしてもらっても構いません。

 

3倍角の公式の導き方

sinの導き方

$$\sin3x=-4\sin^3 x +3\sin x$$

 

$$(左辺)=\sin3x$$

$$=\sin(x+2x) 加法定理より$$

$$=\sin x \cos 2x+ \cos x \sin 2x 倍角の公式より$$

$$=\sin x (1 - 2\sin^2 x)+\cos x (2\sin x \cos x)$$

$$=-2\sin^3 x +\sin x +2\sin x \cos^2 x 先程の②より$$

$$=-2\sin^3 x +\sin x +2\sin x (1-\sin^2 x)$$

$$=-4\sin^3 x +3\sin x=(右辺)$$

これで公式を導けた。

 

 

cosの導き方

$$\cos3x=4\cos^3 x - 3\cos x$$

 

$$(左辺)=\cos3x$$

$$=\cos(x+2x) 加法定理より$$

$$=\cos x \cos 2x- \sin x \sin 2x 倍角の公式より$$

$$=\cos x (2\cos^2 x-1)-\sin x (2\sin x \cos x)$$

$$=2\cos^3 x -\cos x -2\cos x \sin^2 x 先程の①より$$

$$=2\cos^3 x -\cos x -2\cos x (1-\cos^2 x)$$

$$=4\cos^3 x -3\cos x=(右辺)$$

これで公式を導けた。

 

加法定理と倍角の公式を使って、地道に計算していけば導けます。

 

半角の公式

 

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}$$

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}$$

$$\tan^2 x=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}$$

xを\( \frac{x}{2}\)に置き換えた公式も用いられる(むしろこちらが半角の公式)。

$$\sin^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$

$$\cos^2 \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$$

$$\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$

3倍角の公式と違って、半角の公式は使用頻度が高いです。(三角関数の積分でよく使う。)

何度も導くうちに自然に暗記できると思います。

cosの倍角の公式を使って簡単に導けます。

 

半角の公式の導き方

sinの導き方

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}$$

 

cosの倍角の公式より

$$\cos2x=1-2\sin^2 x$$

これを式変形していく。

$$2\sin^2 x=1-\cos2x$$

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}$$

これで公式を導けた。

 

 

 

cosの導き方

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}$$

 

cosの倍角の公式のもう一方を使う。

$$\cos2x=2\cos^2 x -1$$

$$2\cos^2 x=1+\cos2x$$

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}$$

これで公式を導けた。

 

 

tanの導き方

$$\tan^2 x=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}$$

 

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}$$

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}$$

が導けたので、

$$(左辺)=\tan^2 x$$

$$=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$

$$=\frac{\frac{1-\cos2x}{2}}{\frac{1+\cos2x}{2}}$$

$$=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}=(右辺)$$

これで公式を導けた。

 

積和・和積の公式

積和・和積の公式は使用頻度が低く、しかも覚えにくいため、導き方を覚えてしまった方がいいと思います。

どちらの公式も加法定理を使って導くことができます。

導き方が特徴的なので、特徴さえ捉えてしまえば簡単に導けるようになります。

 

また、暗記するにしても、導き方を知っていれば思い出しやすくなるはずです。

 

積和の公式

$$\sin\alpha \cos\beta=\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) +\sin(\alpha-\beta)\}$$

$$\cos\alpha \sin\beta=\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)\}$$

$$\sin\alpha \sin\beta=-\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) -\cos(\alpha-\beta)\}$$

$$\cos\alpha \cos\beta=\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) +\cos(\alpha-\beta)\}$$

※2つ目のcosαsinβの公式は、sinβcosαとして捉えれば1つ目の公式を使えばいいので省略しようかと悩みました。

しかし、sinβcosαとして1つ目の公式を使うとsin(β-α)が出てきてしまい綺麗でないため、一様記述しました。

 

積和の公式の導き方

次の加法定理を使う。

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta・・・(1)$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta・・・(2)$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta・・・(3)$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta・・・(4)$$

(1)+(2)より

$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$$

$$=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)+(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)$$

$$=2\sin\alpha\cos\beta$$

同様にして、(1)-(2)より

$$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$$

(3)+(4)より

$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$$

(3)-(4)より

$$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta$$

 

以上をまとめると、

$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta・・・(5)$$

$$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta・・・(6)$$

$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta・・・(7)$$

$$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta・・・(8)$$

 

各両辺を2で割れば、積和の公式が導ける。

$$\sin\alpha \cos\beta=\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) +\sin(\alpha-\beta)\}$$

$$\cos\alpha \sin\beta=\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)\}$$

$$\cos\alpha \cos\beta=\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) +\cos(\alpha-\beta)\}$$

$$\sin\alpha \sin\beta=-\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) -\cos(\alpha-\beta)\}$$

 

加法定理の4式の和や差を取ることで、導くことができました。

大事なところなのでおさらいすると、加法定理の4式から

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta・・・(1)$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta・・・(2)$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta・・・(3)$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta・・・(4)$$

和と差をうまく計算して、次の4式

$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta・・・(5)$$

$$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta・・・(6)$$

$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta・・・(7)$$

$$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta・・・(8)$$

を作ったんですね。

積和の公式を作るには、これらの式の両辺を2で割ればOKです。

実は、和積の公式も、今作ったこの4式から導くことになります。

和積の公式

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

ごちゃごちゃしているように見えますが、導き方を知ればこの形にも納得がいくはずです。

※こちらの都合でx,yを使っていますが、α,βとの違いはありません。

 

和積の公式の導き方

先ほど加法定理の和と差から作った次の式を使う。

$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta・・・(5)$$

$$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta・・・(6)$$

$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta・・・(7)$$

$$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta・・・(8)$$

これらの式に

$$\alpha=\frac{x+y}{2}$$

$$\beta=\frac{x-y}{2}$$

を代入すれば和積の公式が導ける。

実際にやってみると、

$$\alpha+\beta=\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}=x$$

$$\alpha-\beta=\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}=y$$

なので、

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}・・・(5)'$$

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}・・・(6)'$$

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}・・・(7)'$$

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}・・・(8)'$$

確かに、和積の公式となった。

 

この導き方を知った後にもう一度和積の公式を見てみましょう。

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

xはもともとα+βで、yはもともとαーβでしたね。

つまり、和積の公式の左辺は、加法定理の和(差)から派生したものなのです。

そして、右辺は加法定理の和(差)を取った後に残った方の項を表しています。

 

このように構造さえ掴んでしまえば、暗記が曖昧でも思い出すことが容易になります。

なので、構造がつかめるようになるまでは、自分で導いて使うことをお勧めします。

 

三角関数公式チャート

今回の記事の内容をチャートにしてみました。

 

まとめ

長い記事でしたね。

お疲れ様でした。

 

三角関数は公式が多いため、丸暗記ではなかなか対応しきれません。

しかし、公式を何回も導くことで自然と覚えていけるとおもいます。

ぜひ今回の記事を参考に自分で公式を作ってみてください。

自分の手を動かすことで新たな発見があるはずです。

 

では、今回はこれで終わりにします。

またね。

 

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